Начальная

Windows Commander

Far
WinNavigator
Frigate
Norton Commander
WinNC
Dos Navigator
Servant Salamander
Turbo Browser

Winamp, Skins, Plugins
Необходимые Утилиты
Текстовые редакторы
Юмор

File managers and best utilites

Хроматическое число плоскости. Рис 1 см


Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге



При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.

1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:

1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;

2) подставить найденные величины в формулу площади.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 1. Треугольник

Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .

2 Фигура представляет собой многоугольник

Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.

Метод разбиения:

1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;

2) вычислить площади полученных фигур;

3) найти сумму всех площадей полученных фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.

Рис. 2. Многоугольник

Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника — . Складывая площади всех фигур получим:

Метод дополнительного построения

1) достроить фигуру до прямоугольника

2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника

3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.

Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.

Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри — , площади «лишних» треугольников — , , тогда площадь искомой фигуры .

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.

Рис. 5. Узлы в формуле Пика

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.

Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика

Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:

Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.

Рис. 7. Условие задачи 1

2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых — до 35 т, вяза — до 43 т, дуба — до 50 т. бука — до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. — 200 м.).

Рис. 8. Условие задачи 2

3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

узоры 6

Рис. 9. Условие задачи 3

4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см — 5м.

Рис. 10. Условие задачи 4

5. Звездчатый многоугольник — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда — пентаграмма. Пентаграмма — это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее — метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.

Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.

Литература:

  1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. — М.: МЦНМО, 2006. — 72 с.
  2. Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». — 1974. — № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
  3. Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. — 2009. -№ 23. — с.24,25.

yun.moluch.ru

Хроматическое число плоскости • Алексей Чернов • Научно-популярные задачи на «Элементах» • Математика

Начнём с самого интересного: ничего больше про минимальное число цветов, требующихся для раскраски плоскости с выполнением того же условия, не известно. Можно ли покрасить плоскость в 4, или в 5, или в 6 цветов — не знает никто, хотя известна эта задача уже больше 60 лет!

Относится она к теории графов. Графом называется произвольное множество точек, или вершин, некоторые из которых соединены с другими вершинами отрезками или дугами — обычно их называют рёбрами. Можно представлять себе граф, например, как компанию людей, некоторые из которых знакомы друг с другом; при этом если Надя знает Катю, то Катя знает Надю, то есть граф знакомств неориентированный, как, например, в сети ВКонтакте. (Бывают и ориентированные графы, как, например, граф друзей в Живом Журнале: там, если ты добавляешь кого-то в друзья, то сам не попадаешь к нему в список друзей, — но о них мы сейчас говорить не будем.)

Теория графов — достаточно старый раздел математики; её родоначальником считается Леонард Эйлер — один из величайших математиков в истории. Кстати, хотя родился он в Швейцарии, последние 17 лет жизни провёл в России и оказал большое влияние на становление науки в нашей стране.

Первой задачей теории графов считается задача о семи мостах Кёнигсберга (ныне Калининграда): жители пытались обойти семь мостов города так, чтобы ни по одному из них не пройти дважды, но сделать это никому не удавалось. Эйлер заинтересовался ей в 1736 году и в том же году нашёл правило, позволяющее определить возможность такого прохода для любой схемы мостов. По 7 мостам Кёнигсберга, как оказалось, нужным образом действительно пройти нельзя. На рис. 5 изображены эти 7 мостов на карте Кёнигсберга и соответствующий им граф.

Рис. 5. 7 мостов на карте Кёнигсберга (слева) и соответствующий им граф. Изображения из статьи Википедии «Проблема семи мостов Кёнигсберга»

(Рассказывают, что немецкий кайзер Вильгельм, славившийся своей прямотой, узнал об этой задаче на одном из приёмов и сказал, что если ему принесут лист бумаги и перо, то он решит её за полторы минуты. Учёные умы, предложившие ему эту задачу, быстро нашли перо и бумагу; а Кайзер написал на листе приказ построить восьмой мост, с которым задача действительно решается совсем легко. Верите или нет, но мост Кайзера действительно был построен.)

Назовём правильной раскраской графа такую раскраску его вершин в несколько цветов, что любые две вершины, соединённые ребром, раскрашены в разные цвета. Хроматическим числом графа G (обозначение: χ(G)) называется минимальное число n, при котором существует правильная раскраска графа в n цветов. Например, ясно, что хроматическое число каждого графа не меньше единицы (если в нём есть хотя бы одна вершина) и не больше числа вершин в графе — ведь можно каждую вершину покрасить в свой цвет.

Граф, с которым мы имеем дело в нашей задаче, имеет довольно страшный вид: его вершины — это все точки плоскости (это множество обычно обозначают ), а рёбрами соединены все пары вершин, отстоящие друг от друга на расстояние 1 см. Тем не менее, в задаче мы небезуспешно получали оценки на его хроматическое число, и в итоге несложными методами (правда, у математиков на то, чтобы их придумать, ушло 11 лет!) доказали, что 4 ≤ χ(G) ≤ 7. Задачу о нахождении хроматического числа плоскости математики называют обычно задачей Нельсона–Хадвигера (Hadwiger–Nelson problem) или задачей Эрдеша–Хадвигера. Впервые она была сформулирована, судя по всему, 18-летним Эдвардом Нельсоном в 1950 году; нижняя оценка χ(G) ≥ 4 была доказана в 1961 году братьями Мозерами, а верхняя χ(G) ≤ 7 — в том же 1961 году Хьюго Хадвигером. Подробный рассказ об этой задаче, путях её решения и разных обобщениях, в том числе на многомерные пространства, желающие смогут найти в уже упомянутой нами свободно распространяемой брошюре А. М. Райгородского «Хроматические числа».

Нам же интересно в первую очередь то, что ничего лучше, чем отрезок от 4 до 7, про хроматическое число плоскости не известно. А ведь на вид формулировка такая простая! Этой задачей за 60 лет занимались очень многие; например, известно, что если все одноцветные множества измеримы по Лебегу, то нужны по крайней мере 5 цветов, а если множества точек каждого отдельного цвета представляют собой объединение непересекающихся выпуклых многоугольников, то цветов нужно по крайней мере 6. Более того, не исключено, что точного ответа здесь не существует, как и в знаменитой континуум-гипотезе. В 2003 году Сойфер и Шелах привели доводы в пользу того, что ответ может зависеть от выбора аксиоматики теории множеств (статья на английском, PDF, 79 Кб).

Задача о хроматическом числе плоскости, несмотря на её на первый взгляд бесполезность для общества, вызвала развитие самых разных методов вокруг задач комбинаторной геометрии (см. Combinatorial geometry). А задачи раскраски графов получили самые разные непосредственные применения в нашей жизни: например, они помогают решать задачи составления расписаний (для образовательных учреждений и для транспорта), распределения регистров в микропроцессорах, распараллеливания численных методов, установки цифровых водяных знаков, решения судоку. Подробнее об этом можно прочитать, опять же, в Википедии (см. Практическое применение раскраски графов).

Задач, формулировка которых понятна и школьнику, а решение не известно никому, по-прежнему очень много. Если вы хотите оставить своё слово в истории, обратите внимание на эту ссылку: список открытых математических проблем. Вы удивитесь, на какие простые вопросы математики до сих пор продолжают искать ответ!

elementy.ru

Площадь сектора по клеточкам

В этой статье мы разберем, как находить площадь сектора, нарисованного на бумаге в клеточку. Это задание В5 для подготовки к ЕГЭ по математике.

1. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 4.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=4^2{pi}=16{pi}

Заштрихованная фигура - это половина круга, и ее площадь равна S/2=8{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

Ответ: 8

2. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 3.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=3^2{pi}=9{pi}

Найдем, какую часть заштрихованная фигура составляет от круга.

Мы видим, что заштрихованная фигура - это половина круга и еще одна четверть от половины, то есть одна восьмая.

1/2+1/8=5/8

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры составляет 5/8 от площади круга.

S={5/8}*9{pi}=5,625{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

Ответ: 5,625

 

3. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 4.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=4^2{pi}=16{pi}

Найдем, какую часть круга составляет незакрашенный сектор. Если мы незакрашенный центральный угол повернем на угол alpha, то увидим, что его величина равна 90^{circ}:

Сектор 90^{circ} - это 1/4 часть круга. Следовательно, закрашенный сектор - это 3/4 круга. И его площадь равна S={3/4}*16{pi}=12{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

Ответ: 12

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru


Смотрите также

 

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..